又一道数列题

题目：如果数列$a_n$满足 $a_{n+1}=a_n+\frac{a_n^2}{n^2}$, $n=1,2,3,...$, 且 $a_1\in [0,1)$. 证明: $\lim_{n\rightarrow+\infty}a_n$存在. 分析：首先若$a_1=0$, 则不难由归纳法可知， $a_n